Наша изогнутая лента, обладающая столь удивительным свойством не разъединяться при разрезании, называется в геометрии поверхностью Мебиуса, по имени знаменитого математика прошлого века.

Другая замечательная особенность нашего кольца состоит в том, что у него нет «лицевой стороны» и «изнанки»: «лицо» ленты постепенно переходит в «изнанку», так что невозможно указать, где кончается одна сторона и начинается другая. Если вы пожелали, например, покрасить одну сторону нашей бумажной ленты, скажем, в красный цвет, а другую оставить некрашенной, то не смогли бы выполнить этого: у нашей ленты нет двух сторон, она односторонняя [1].

Рис. 6. Другое кольцо, разрезанное вдоль средней линии

Но вернемся к разрезанию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 7).

Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами.

Рис. 7. Кольцо после двукратного разрезания

6. Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним вашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, то выигрыш обеспечен: партнер не может взять больше 4 спичек, и, следовательно, вы возьмете после него все остальные. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли в предыдущий ход оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо, делая этот ход, оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6 – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее, как сделать так, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.

Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее 25 спичек и, наконец, в первый раз 30 спичек, т. е., начиная игру, взять 2 спички.

Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем, после того как партнер взял несколько спичек, берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда будет вашей.

7. Если условие игры обратное, т. е. взявший последнюю спичку считается проигравшим, то вам надо в предпоследний ваш ход оставить на столе 6 спичек: тогда, сколько бы ни взял ваш партнер, он не оставит вам меньше 2 и больше 5, т. е. вы в любом случае сможете последующим ходом последнюю спичку оставить ему. Но как сделать так, чтобы оставить на столе 6 спичек? Для этого нужно в предыдущий ход оставить на столе 11 спичек, а еще в более ранние ходы 16, 21, 26 и 31 спичку.

Итак, вы начинаете с того, что берете всего 1 спичку, а дальнейшими ходами оставляете вашему партнеру 26, 21, 16, 11 и 6 спичек; последняя спичка неизбежно достанется противнику.

8. Здесь разыскать способ беспроигрышной игры несколько труднее, чем при игре в «32». Надо исходить из следующих соображений.

1. Если у вас перед концом партии нечетное число спичек, вы должны оставить противнику 5 спичек, и ваш выигрыш обеспечен. В самом деле: в следующий ход противник оставит вам 4,3,2 или 1 спичку. Если он оставит 4 – вы берете три спички и выигрываете, если 3 – берете все три и выигрываете; если 2 – берете одну и также выигрываете.

2. Если же перед концом игры у вас оказывается четное число спичек, то вы должны оставить противнику 6 или 7 спичек. В самом деле, последим, как пойдет дальше игра. Если противник следующим ходом оставляет вам 6 спичек, вы берете одну и, обладая теперь уже нечетным числом спичек, спокойно оставляете противнику 5 спичек, с которыми он должен неизбежно проиграть. Если он оставит вам не 6, а 5 спичек, берете 4 и выигрываете. Если оставит 4 – берете все четыре и выигрываете. Если оставит 3 – берете две и выигрываете. И наконец, если оставит 2 – вы тоже выигрываете. Меньше двух он оставить не может.

Теперь уже не трудно найти способ беспроигрышной игры. Он состоит в том, чтобы, имея нечетное число спичек, оставлять противнику на столе такое, которое на 1 меньше кратного 6-ти, т. е. 5,11,17, 23; имея же четное число спичек, оставлять противнику на столе число спичек, кратное 6-ти или на 1 больше, т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25. Нуль можно считать четным числом; поэтому, начиная игру, вы должны взять из 27 спичек 2 или 3, а в дальнейшем следовать описанной схеме. Ведя так игру, вы неизбежно выиграете. Не давайте только противнику перехватить у вас инициативу.

9. Если условие игры обратное и выигравшим считается обладатель нечетного числа, вы должны поступать при игре следующим образом: имея четное число спичек, оставляйте противнику на 1 меньше, чем кратное 6-ти, имея же нечетное число, оставляйте ему кратное 6-ти или на 1 больше. Такая тактика обязательно приведет вас к выигрышу. Начиная игру, вы имеете 0 спичек (т. е. как бы четное число), поэтому первым ходом берете 4 спички, оставляя противнику 23.

10. Вы, вероятно, пытались составить шесть треугольников, располагая спички в одной плоскости. И, конечно, безуспешно, потому что так задачу решить невозможно. Но ведь такого ограничения в задаче нет: вы можете располагать треугольники и не в одной плоскости, т. е. размещать их в пространстве. И тогда она решается очень просто – нужно лишь построить из 6 спичек пирамиду с треугольным основанием и треугольными боками (рис. 8). У вас получится 4 равносторонних треугольника из 6 спичек.

Рис. 8. Четыре равносторонних треугольника из шести спичек (треугольники – грани пирамиды)

Головоломные размещения и занимательные перестановки

1. Белки и кролики

Перед вами восемь пронумерованных пней (рис. 1). На пнях 1 и 3 сидят кролики, на пнях 6 и 8 – белки. И белки, и кролики почему-то недовольны своими местами и хотят обменяться пнями: белки желают сидеть на местах кроликов, а кролики – на местах белок. Попасть на новое место они могут, прыгая с пня на пень по следующим правилам:

1) прыгать с пня на пень можно только по тем линиям, которые показаны на рисунке; каждый зверек может делать несколько прыжков кряду;

Рис. 1. На полянке

2) два зверька на одном пне поместиться не могут, поэтому прыгать можно только на свободный пень.

Имейте также в виду, что зверьки желают обменяться местами за наименьшее число прыжков. Впрочем, меньше чем 16 прыжками им не обойтись.

Как же они это сделают?

2. Чайный сервиз

Мне пришлось как-то целый вечер ждать поезд на маленькой станции. Не было ни книг, ни газет, ни собеседников, и я не знал, чем наполнить часы ожидания. К счастью, я вспомнил об одной занимательной задаче, которая незадолго до того попалась мне в иностранном журнале. Задача состояла в следующем.

Стол разграфлен на 6 квадратов, в каждом из которых, кроме одного, помещается какой-нибудь предмет. Я воспользовался чайной посудой и разместил по квадратам чашки, чайник и молочник, как показано на рис. 2.

Суть задачи в том, чтобы поменять местами чайник и молочник, передвигая предметы из одного квадрата в другой по определенным правилам, а именно: