По сообщению агентства ЮПИ от 24 апреля 1970 г., кандидатам на выборах в конгресс от штата Орегон было разрешено поместить на избирательном бюллетене от своего имени лозунг в 12 слов. Френк Хэтч из г. Юджин, баллотировавшийся в конгресс от демократической партии, выступил на выборах под лозунгом: «Тому, кто мыслит лозунгами в двенадцать слов, не место в этом бюллетене».
В 1909 г. известный английский экономист Альфред Маршалл утверждал в одной из своих работ: «Любая короткая фраза об экономике внутренне лжива».
Треба Джонсон из г. Новый Ханаан, штат Коннектикут, рассказала мне о том, как однажды она тянула куриную дужку со своим маленьким сыном. Он выиграл и спросил: «Мама, а какое желание ты задумала?» Миссис Джонсон ответила: «Я хотела, чтобы выиграл ты». Выиграла ли миссис Джонсон?
Выиграла бы она, если бы большая часть куриной дужки досталась ей?
А что было бы, если бы римский папа, который, согласно догматам католицизма, непогрешим в вопросах веры, провозгласил бы с амвона непогрешимость всех римских пап, какие только существовали, существуют и будут существовать?
В одном журнале среди рекламных объявлений мне довелось видеть следующее: «Хотите научиться читать? Мы обучаем читать заочно и в сжатые сроки.
Обращайтесь по адресу…».
Ссылка на себя производит комическое впечатление, даже если она не парадоксальна. В предметном указателе к американскому изданию книги Пола Р. Халмоша «Конечномерные векторные пространства» имеется ссылка: «Хохшильд, Дж. П., 19в». Фамилия Хохшильда не упоминается в книге Халмоша нигде, кроме этой ссылки, помещенной на странице 198.
Рэймонд Смаллиан опубликовал книгу о логических задачах и парадоксах под названием «Как же называется эта книга?» [3]. Через два года вышла новая книга Рэймонда Смаллиана о парадоксах в повседневной жизни под названием «Эта книга никак не называется».
Дуглас Хофштадтер посвятил парадоксам, связанным со ссылкой на себя, специальную статью со множеством новых примеров в январском номере журнала Scientific American за 1981 г.
Сколько слов в предложении, которое вы видите на рисунке? Правильно, пять. Значит, это утверждение ложно. Следовательно, противоположное утверждение должно быть истинно. Верно?
Неверно! Противоположное утверждение содержит ровно шесть слов. Как разрешить столь странный парадокс?
Вот еще несколько парадоксов, связанных со значением истинности некоторых утверждений. Авторы этих парадоксов неизвестны.
Перед вами три ложных утверждения. Не могли бы вы указать их?
1) 2 + 2 = 4
2) 3 х 6 = 17
3) 8:4 = 2
4) 13 — 6 = 5
5) 5 + 4 = 9
Ответ: ложны только утверждения 2 и 4. Следовательно, утверждение о том, что перед вами три ложных утверждения, ложно, и его можно считать третьим ложным утверждением. Вы согласны?
Много лет назад в один компьютер, предназначенный для проверки истинности утверждений, ввели парадокс лжеца — «Это предложение ложно».
Бедный компьютер сошел с ума, но так и не смог решить, истинно введенное в него утверждение или ложно.
Компьютер. Истинно — ложно — истинно — ложно — истинно — ложно.
Первая в мире ЭВМ, предназначенная только для решения логических задач на определение значений истинности, была построена в 1947 г. студентами-дипломниками Гарвардского университета Уильямом Буркхартом и Теодором Кэлином. Когда они предложили своей машине решить парадокс лжеца, та вошла в колебательный режим, издавая при этом (по словам Кэлина) «невероятный шум».
В научно-фантастическом рассказе Гордона Диксона «Дурацкие штучки», опубликованном в августовском номере журнала Astounding Science Fiction за 1951 г., группа ученых спасают свою жизнь тем, что отвлекают ЭВМ, вводя в нее команду: «Ты должна отвергнуть утверждение, которое я сейчас ввожу в тебя, потому, что все мои утверждения ложны».
Несчастный компьютер оказался в таком же затруднительном положении, как человек, которого просят ответить на вопрос: «Что появилось раньше — яйцо или курица?»
Курица? Нет, ибо она должна была бы вылупиться из яйца. Яйцо?
Нет, ибо его должна была бы снести курица.
Старый вопрос о том, что появилось на свет раньше— яйцо или курица, по-видимому, можно считать наиболее известным примером того, что логики называют бесконечным спуском. Концентрат овсяной каши в США обычно продают в коробках, на которых изображен человек, держащий в руках коробку овсяной каши, на которой изображен… и т. д., как в бесконечной последовательности вложенных друг в друга китайских резных шаров из слоновой кости.
В парикмахерской, где зеркала расставлены друг против друга, вы можете увидеть начальный отрезок бесконечного спуска отражений.
Писатели неоднократно использовали бесконечный спуск в фантастических произведениях. Один из персонажей романа Олдоса Хаксли «Контрапункт» Филип Кварлз пишет роман о романисте, который пишет роман о романисте, который и т. д. Бесконечные спуски встречаются в романе Андре Жида «Фальшивомонетчики», в пьесе Э. Э. Каммингса «Он» и в таких рассказах, как, например, «Записная книжка» Нормана Мэйлера, в котором молодой писатель решает написать рассказ, который написал Мэйлер.
Математик Август Де Морган написал шуточное стихотворение, первые четыре строки которого перефразируют более раннее шуточное четверостишие Джонатана Свифта:
Возможно, что на два давно возникших вопроса, связанных с бесконечным спуском, мы никогда не получим ответа. Первый вопрос относится к бесконечному спуску в сторону бесконечности: включает ли наша расширяющаяся Вселенная в себя «все на свете» или является составной частью некой большей, пока не известной нам системы? Второй вопрос относится к бесконечному спуску в противоположном направлении: является ли электрон неделимой частицей или обладает какой-то внутренней структурой, то есть состоит ли из еще меньших частиц? Физики считают, что многие элементарные частицы представляют собой различные комбинации кварков. Существуют ли еще меньшие частицы, из которых состоят кварки?
Некоторые физики полагают, что шкала структур простирается неограниченно далеко в обе стороны. Вселенная Вселенных напоминает вложенные один в другую гигантские китайские резные шары, среди которых нет ни самого большого, ни самого маленького, подобно тому как не существует самой малой дроби и самого большого целого положительного числа.