Поразмыслим над тем, что здесь нарисовано. Критянин говорит о критянах. Предложение, утверждающее нечто о себе. Пуговица, на которой написано о пуговице.
Все эти утверждения содержат ссылку на себя. Может быть, в этом причина всех трудностей?
Нет. Еще древние греки знали, что исключение ссылок на себя не избавляет от парадоксов. Вот один диалог, подтверждающий это.
Платон. Следующее высказывание Сократа будет ложным.
Сократ. То, что сказал Платон, истинно.
Логики упростили парадокс Платона и Сократа, сведя его к двум утверждениям, которые вы видите на рисунке. Какое бы значение истинности вы ни приписали любому из них, оно будет противоречить другому утверждению. Ни одно из утверждений не содержит ссылки на себя, но, взятые вместе, эти два утверждения воспроизводят парадокс лжеца.
Этот вариант парадокса лжеца, широко обсуждавшийся средневековыми логиками, интересен тем, что приводит к важному выводу: источник затруднений в парадоксах с неопределенным значением истинности кроется не в ссылке на себя, а лежит глубже. Если утверждение А истинно, то утверждение В ложно, а коль скоро утверждение В ложно, то утверждение А должно быть ложным. Но если А ложно, то В истинно, а коль скоро В истинно, то А должно быть истинным.
Мы вернулись к исходной позиции и можем все повторить с самого начала, подобно двум полицейским из кинокомедии, крадущимся друг за другом вдоль стен огромного здания. Ни одно из утверждений А и В ничего не говорит о себе, но стоит взять их вместе, как одно утверждение изменяет значение истинности другого утверждения на противоположное, поэтому ни об одном из них мы не можем сказать, истинно оно или ложно.
Своих друзей вы можете развлечь следующим вариантом парадокса Платона и Сократа, предложенным английским математиком П. Э. Б. Журденом, — так называемой карточкой Журдена.
Напишите на одной стороне чистой карточки
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ИСТИННО
а на обратной стороне —
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ЛОЖНО.
Многие люди долго вертят в руках карточку Журдена то так, то эдак, прежде чем осознают, что оказались вовлеченными в бесконечный спуск, в котором каждое утверждение попеременно становится то истинным, то ложным.
Парадокс Платона и Сократа включает в себя два бесконечных спуска, подобно парадоксу Алисы и Черного Короля из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье».
Алиса. Черный Король мне снится. Но он спит и видит во сне, будто я сплю и вижу во сне, что он спит и видит меня во сне…
Видно, я никогда не доберусь до конца.
Эпизод, в котором Алиса встречает Черного Короля, происходит в четвертой главе сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье». Король спит и, по словам Твидлди, видит во сне Алису. «Ты ему просто снишься, — говорит Твидлди возмущенной Алисе. — Если этот вот Король вдруг проснется, ты сразу же — фьють! — потухнешь, как свеча!»
Но диалог Алисы и Твидлди снится Алисе. Кто же кому снится: Король Алисе или Алиса Королю?
Что явь и что сон?
Такого рода «сны во сне» приводят к глубоким философским проблемам реальности. «Если бы мы не облекали их в юмористическую форму, — заметил однажды Бертран Рассел, — то нам пришлось бы признать, что они слишком болезненны».
В парадоксе с курицей и яйцом бесконечная последовательность кур и яиц уходит назад по времени, но в парадоксе Алисы и Черного Короля бесконечный спуск совершается по кругу. Наглядной иллюстрацией парадокса бесконечного спуска, совершаемого по кругу, может служить известный рисунок Морица Эшера «Рисующие руки».
Дуглас Хофштадтер в своей книге «Гёдель, Эшер, Бах: вечное золотое переплетение» называет такие парадоксы «странными петлями». В его книге приведено множество поразительных примеров странных петель в физике, математике, изобразительном искусстве, литературе и философии.
Греческие философы любили рассказывать притчу о крокодиле, выхватившем младенца из рук матери.
Крокодил. Съем ли я твоего младенца? Если ты ответишь правильно, я верну тебе его целым и невредимым.
Мать. О горе мне! Ты съешь моего мальчика.
Крокодил (в смущении). Как мне поступить? Если я отдам тебе младенца, то твой ответ будет неверным. Следовательно, я должен съесть малютку. Отличная идея! Я не отдам тебе его!
Мать. Но ты должен вернуть мне его. Ведь если ты съешь моего мальчика, значит, я ответила правильно и ты должен отдать мне его.
Несчастный крокодил настолько растерялся, что упустил мальчишку. Мать подхватила ненаглядное чадо и была такова.
Крокодил. Жаль! Вот если бы она сказала, что я отдам ей ребенка, то у меня было бы чем полакомиться на обед.
Крокодил оказался перед неразрешимой проблемой: он должен съесть младенца и в то же время вернуть его матери.
Мать оказалась очень умной женщиной. Ведь если бы она сказала, что крокодил собирается вернуть ей младенца, то крокодил мог бы действительно вернуть его или съесть, не впадая при этом в противоречие.
Если бы крокодил вернул младенца матери, то ее утверждение стало бы истинным и крокодил сдержал бы свое слово. С другой стороны, если крокодил достаточно коварен, то он мог бы съесть младенца. Тогда утверждение матери стало бы ложным, и крокодил мог бы считать себя свободным от данного им обещания вернуть матери младенца.
В романе Сервантеса «Дон Кихот» рассказывается об одном острове, на котором действует удивительный закон. Каждого, проходящего по мосту через реку, судьи подвергают опросу.
Судья. Куда и зачем ты идешь? Тех, кто скажет правду, судьи пропускают, а тех, кто солжет, без всякого снисхождения отправляют на стоящую тут же виселицу и казнят.
Однажды некий человек заявил под присягой, что идет затем, чтобы его вздернули на виселице.